解不等式 (x − 2)(x + 1)(x − 4) < 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先找出臨界點。 乘積為零的位置就是某個因式為零的位置：

   $x=-1,\qquad x=2,\qquad x=4.$

   因為不等號是嚴格的，這三個值都不屬於解集合——它們只是分界。畫表之前先把它們由小到大排好，是不可省的一步。

2. 2

   把數線切成四段。 三個根切出

   $(-\infty,-1),\quad(-1,2),\quad(2,4),\quad(4,\infty).$

   一次因式乘積的正負在每一段上都是固定的，所以每段取一個測試點就能定案。

3. 3

   每段各取一點測試。 數一數有幾個因式為負：

   $x=-2:\ (-4)(-1)(-6)<0;\qquad x=0:\ (-2)(1)(-4)>0;$

   $x=3:\ (1)(4)(-1)<0;\qquad x=5:\ (3)(6)(1)>0.$

   負因式的個數是奇數時乘積為負，是偶數時乘積為正——這正是每越過一個根正負就交替的原因。

4. 4

   用重數的規律再檢查一次。 這裡每個根都是單根（重數為一），所以在每個根處正負都會翻轉。從最右邊三個因式全正出發，往左走的模式必定是 $+,-,+,-$——與測試點的結果完全相符 ✓。若某個因式帶平方，在那個根處就不會翻轉了。

5. 5

   把乘積為負的區間收集起來。 讀出表格：

   $x\in(-\infty,-1)\cup(2,4).$

   所有端點都是開的。若不等號改成 $\le0$，答案就會變成 $(-\infty,-1]\cup[2,4]$，三個根都含在內。