解 0.02x² + 0.06x + 0.18 = 2.91，請以根式寫出精確解並給出小數近似值。

Step-by-step solution

1. 1

   先把方程式整理成標準式。 公式解只適用於 $ax^{2}+bx+c=0$，所以第一件事就是兩邊同減 $2.91$：

   $0.02x^{2}+0.06x+0.18-2.91=0\;\Longrightarrow\;0.02x^{2}+0.06x-2.73=0.$

   注意常數項變成負的，這已經告訴你兩根會異號（它們的乘積 $c/a$ 是負的）。

2. 2

   兩邊同乘 100，把小數清掉。 小數係數會讓判別式手算起來很痛苦，也容易出現捨入失誤。每一項都乘以 $100$ 是等價變形，不是近似：

   $2x^{2}+6x-273=0.$

   逐項核對：$0.02\times100=2$、$0.06\times100=6$、$-2.73\times100=-273$。三個係數現在都是整數了。

3. 3

   以 $a=2$、$b=6$、$c=-273$ 套公式解。 代入之後，

   $x=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-273)}}{2(2)}=\frac{-6\pm\sqrt{36+2184}}{4}=\frac{-6\pm\sqrt{2220}}{4}.$

   符號陷阱在 $-4ac=-4(2)(-273)=+2184$：兩個負號相乘會讓判別式變大，而不是變小。因為 $2220>0$，所以有兩個相異實根。

4. 4

   化簡根式並約掉公因數。 把 $2220$ 裡最大的平方因數提出來：

   $2220=4\cdot 555,\qquad \sqrt{2220}=2\sqrt{555},$

   而 $555=3\cdot 5\cdot 37$ 沒有平方因數，所以已經完全化簡。於是

   $x=\frac{-6\pm 2\sqrt{555}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{555}}{2}.$

   把分數三個部分共有的 $2$ 約掉，正是把難看的答案變成漂亮答案的關鍵。

5. 5

   求近似值，並把兩根都代回原方程式檢驗。 由 $\sqrt{555}\approx 23.5584$，

   $x\approx\frac{-3+23.5584}{2}\approx 10.2792,\qquad x\approx\frac{-3-23.5584}{2}\approx-13.2792.$

   把 $x=10.2792$ 代回：$0.02(105.66)+0.06(10.2792)+0.18=2.1132+0.6168+0.18=2.9100$ ✓。對 $x=-13.2792$ 做同樣檢驗，也得到 $2.91$ ✓。兩根對稱於頂點 $x=-1.5$，本來就該如此。