化簡 (6x − 6) / (12x² + x(x² − 2x + 1))。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分子因式分解。 兩項都含有因式 $6$：

   $6x-6=6(x-1)$

   看得見的 $(x-1)$ 會讓人很想期待可以約掉——後面的推導才會決定它到底存不存在。

2. 2

   把分母的公因式 x 提出來。 完全平方 $x^2-2x+1=(x-1)^2$，所以

   $12x^{2}+x(x-1)^{2}=x\left[12x+(x-1)^{2}\right]$

   注意最大公因式是 $x$ 而不是 $x^2$，因為第二項只帶了一個 $x$。

3. 3

   把中括號裡展開整理。 這一步決定了答案：

   $12x+(x-1)^{2}=12x+x^{2}-2x+1=x^{2}+10x+1$

   $(x-1)^2$ 一旦被加上 $12x$，就不再以因式的身分存活下來。

4. 4

   組合起來並檢查有沒有公因式。

   $\frac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}$

   $(x-1)$ 整除得了 $x^2+10x+1$ 嗎？代 $x=1$ 進去：$1+10+1=12\neq 0$，依因式定理可知不行。什麼都約不掉。

5. 5

   寫出最簡形式。

   $\boxed{\dfrac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}}$

   成立條件為 $x\neq 0$ 且 $x\neq -5\pm 2\sqrt6$（後者是 $x^2+10x+1$ 的兩根）。

6. 6

   用數值抽驗。 取 $x=3$，原式為 $\dfrac{12}{108+3(4)}=\dfrac{12}{120}=0.1$，化簡後的式子給出 $\dfrac{6(2)}{3(9+30+1)}=\dfrac{12}{120}=0.1$。兩者一致，可見因式分解過程沒有出錯。