解複合不等式 −1 < x² − x − 1 < 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先拆成兩個獨立的不等式。 中間是非線性的複合不等式，不能靠三邊同加一個常數然後直接讀出區間 —— 因為中間那一項不是單調的。它必須變成用「且」連接的兩個條件：

   $x^2 - x - 1 > -1 \quad \text{且} \quad x^2 - x - 1 < 1$

2. 2

   解左邊那個不等式。 兩邊加 $1$：$x^2 - x > 0$，也就是 $x(x-1) > 0$。兩個一次因式的乘積在兩根之外為正，所以

   $x < 0 \quad \text{或} \quad x > 1$

3. 3

   解右邊那個不等式。 兩邊減 $1$：$x^2 - x - 2 < 0$，也就是 $(x-2)(x+1) < 0$。乘積在兩根嚴格之間為負，所以

   $-1 < x < 2$

4. 4

   把兩個解集取交集。 把 $\left((-\infty,0) \cup (1,\infty)\right)$ 和 $(-1,2)$ 疊起來，$(-1,2)$ 以外的部分全被去掉，中間的閉區間 $[0,1]$ 也被挖走：

   $(-1,\,0) \cup (1,\,2)$

   中間之所以有這個缺口，是因為在 $[0,1]$ 上拋物線在 $x = 0.5$ 下探到最小值 $-1.25$，突破了下界。

5. 5

   取幾個點驗算。 取 $x = -0.5$：$0.25 + 0.5 - 1 = -0.25$，落在 $(-1,1)$ 內。取 $x = 0.5$：$-1.25$，落在外面。取 $x = 1.5$：$2.25 - 1.5 - 1 = -0.25$，落在內。取 $x = 2$：$4 - 2 - 1 = 1$，不滿足嚴格的上界，所以把這個端點排除是對的。