解方程式 √(3x − 8) − √(2x − 3) + √(x − 1) = 0。

Step-by-step solution

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   動手前先求定義域。 三個根號內的式子都必須非負：$3x \ge 8$、$2x \ge 3$、$x \ge 1$。最緊的條件是 $x \ge \tfrac{8}{3} \approx 2.6667$，所以任何小於它的答案自動不合格。

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   重新分組，讓兩邊都非負。 照原樣寫，左邊正負混雜，平方之後會一團亂。把負的那一項移到右邊：

   $\sqrt{3x-8} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2x-3}$

   現在兩邊都是主根之和，因此都 $\ge 0$，平方時不會引入符號錯誤。

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   先平方一次。 利用 $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$：

   $(3x-8) + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} + (x-1) = 2x-3$

   $4x - 9 + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} = 2x - 3 \;\Longrightarrow\; \sqrt{(3x-8)(x-1)} = 3 - x$

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   記下新產生的符號條件，再平方一次。 左邊 $\ge 0$，所以必須有 $3 - x \ge 0$，也就是 $x \le 3$。與定義域合起來，任何解都落在 $\left[\tfrac{8}{3},\,3\right]$ 之內——這是個非常窄的窗口。平方後：

   $3x^2 - 11x + 8 = x^2 - 6x + 9 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 5x - 1 = 0$

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   求解並過濾。 用公式解：

   $x = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$

   也就是 $x \approx 2.6861$ 或 $x \approx -0.1861$。負的那個離定義域很遠（它的根號內會是負的），所以只有 $x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ 可能成立——而且請注意它多麼緊貼地落在 $[2.6667,\,3]$ 之內。

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   代回原方程式驗算。 當 $x = 2.6861407$：$\sqrt{3x-8} = \sqrt{0.058422} = 0.241706$、$\sqrt{2x-3} = \sqrt{2.372281} = 1.540221$、$\sqrt{x-1} = \sqrt{1.686141} = 1.298515$。於是 $0.241706 - 1.540221 + 1.298515 = 0.000000$ ✓。用符號運算化簡後，殘差恰好是 $0$，所以 $x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ 是唯一的解。