把 f(x) = (2x + 1)/(x⁴ − 5x² + 4) 的定義域用區間表示出來。

Step-by-step solution

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   先弄清楚唯一的限制在哪。 分子是多項式，處處有定義；函數只在分母為零的地方失效。所以問題就歸結成解 $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$。

2. 2

   用變數代換解這個雙二次方程式。 式子裡只出現偶次方，所以令 $u = x^2$：

   $u^2 - 5u + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (u-1)(u-4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = 1 \text{ 或 } u = 4$

3. 3

   換回 x。 每個正的 $u$ 對應兩個實數 $x$：

   $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1, \qquad x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm2$

   一共排除四個點 —— 這已經是四次分母能產生的最大數量。

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   挖掉這四個點，寫出區間。 在數線上由小到大，排除的值是 $-2, -1, 1, 2$，它們把 $\mathbb{R}$ 切成五段：

   $(-\infty,-2) \cup (-2,-1) \cup (-1,1) \cup (1,2) \cup (2,\infty)$

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   每個區間取一點驗算。 取 $x = -3$：分母 $81 - 45 + 4 = 40 \ne 0$。取 $x = -1.5$：$5.0625 - 11.25 + 4 = -2.1875$。取 $x = 0$：$4$。取 $x = 1.5$：$-2.1875$。取 $x = 3$：$40$。都不為零，確認這五個區間整段都落在定義域內。