某劇院原本賣出的全票與兒童票比為 9 : 4。演出當天又多賣了 20 張全票、兒童票沒有再賣，比例變成 8 : 3。請問原本各賣出多少張？全票總共賣出多少張？

Step-by-step solution

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   把第一個比化成只含一個未知數的式子。 比只固定了比例關係，所以引入一個倍數 $k$：

   $\text{全票}=9k,\qquad \text{兒童票}=4k.$

   如果用兩個各自獨立的未知數，條件會不足以定解；正是這個倍數讓一條方程式就夠用。

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   寫出加賣之後的情況。 只有全票的數量改變：

   $\text{全票}=9k+20,\qquad \text{兒童票}=4k.$

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   令新的比等於 8 : 3。

   $\frac{9k+20}{4k}=\frac{8}{3}.$

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   交叉相乘並解出 k。

   $3(9k+20)=8(4k)\ \Longrightarrow\ 27k+60=32k\ \Longrightarrow\ 5k=60\ \Longrightarrow\ k=12.$

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   換回實際的票數。

   $\text{前一天的全票}=9(12)=108,\qquad \text{兒童票}=4(12)=48,$
   $\text{之後的全票}=108+20=128.$

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   兩個比都驗算一次。 之前：$108:48$，兩邊同除以 $12$ 得 $9:4$ ✓。之後：$128:48$，兩邊同除以 $16$ 得 $8:3$ ✓。全票佔全部票數的比例，從 $\tfrac{9}{13}$ 升到 $\tfrac{8}{11}$，與「只加賣全票」是一致的。