解不等式 log 以 5 為底 (x − 3√x + 32) < 2 乘 log 以 5 為底 (√x + 2)，並寫出最小正整數解。選項：17、25、16、20。

Step-by-step solution

1. 1

   先定出定義域，因為對數會限制範圍。 光是 $\sqrt{x}$ 就逼出 $x\geq 0$。左邊的對數需要 $x-3\sqrt{x}+32>0$；令 $t=\sqrt{x}\geq 0$，它變成 $t^{2}-3t+32>0$，判別式為

   $D=(-3)^{2}-4(1)(32)=9-128=-119<0$

   判別式為負而首項係數為正，所以 $t^{2}-3t+32$ 對每個 $t$ 都是正的，這條沒有增加新限制。右邊的對數需要 $\sqrt{x}+2>0$，自動成立。因此定義域恰好是 $x\geq 0$。

2. 2

   把係數 $2$ 收進對數裡。 利用 $k\log_{b}u=\log_{b}u^{k}$，在 $\sqrt{x}+2>0$ 的前提下合法：

   $2\log_{5}\left(\sqrt{x}+2\right)=\log_{5}\left(\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}\right)$

   現在兩邊都是單一個以 $5$ 為底的對數。

3. 3

   用正確的方向去掉對數。 因為底 $5>1$，$\log_{5}$ 是嚴格遞增的，所以對數之間的不等式等價於真數之間的同向不等式——不必反轉：

   $x-3\sqrt{x}+32<\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}$

   若底落在 $0$ 與 $1$ 之間，這一步就要反向。

4. 4

   展開，看著 $x$ 的項抵消。 因為 $\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}=x+4\sqrt{x}+4$，

   $x-3\sqrt{x}+32<x+4\sqrt{x}+4$

   兩邊同減 $x$，就把對 $\sqrt{x}$ 而言的二次部分整個消掉，只剩下對 $\sqrt{x}$ 的一次不等式：

   $-3\sqrt{x}+32<4\sqrt{x}+4\ \Longrightarrow\ 28<7\sqrt{x}\ \Longrightarrow\ \sqrt{x}>4$

5. 5

   安全地平方，再與定義域取交集。 $\sqrt{x}>4$ 兩邊都非負，平方可保持不等號：

   $x>16$

   它已落在定義域 $x\geq 0$ 之內，所以解集合是 $(16,+\infty)$。

6. 6

   挑出最小正整數並代入驗算。 嚴格大於 $16$ 的最小整數是 $17$，也就是選項 1。直接代入可以確認邊界的嚴格性：在 $x=16$ 兩邊分別是 $\log_{5}(36)$ 與 $\log_{5}(36)$，相等所以不是解；在 $x=17$ 左邊是 $\log_{5}(36.63)$、右邊是 $\log_{5}(37.49)$，不等式成立。測試 $x=0,1,4,9,16$ 全部失敗，而 $16.5,17,25$ 全部通過，與 $x>16$ 吻合。