解方程式 x^2 - 6x - 5 = 0。

Step-by-step solution

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   先認出係數，並試試能否因式分解。 這裡 $a=1$、$b=-6$、$c=-5$。整數分解需要兩個數，乘積為 $-5$、和為 $-6$；$-5$ 的整數因數對只有 $(1,-5)$ 與 $(5,-1)$，和分別是 $-4$ 與 $4$——都不是 $-6$。所以根不是整數，必須用公式解。

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   算判別式。

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4(1)(-5)=36+20=56$

   $-4ac$ 這一項變成 $+20$ 是因為 $c$ 是負的——這裡的正負號疏失是答錯最常見的原因。由於 $\Delta=56>0$ 但不是完全平方數，可以預期會得到兩個無理根。

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   代入公式解。

   $x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{56}}{2(1)}=\frac{6\pm\sqrt{56}}{2}$

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   先化簡根號，再約分。 把最大的平方因數提出來：$56=4\cdot14$，所以 $\sqrt{56}=2\sqrt{14}$。這時公因數 $2$ 就看得見了：

   $x=\frac{6\pm2\sqrt{14}}{2}=\frac{2\left(3\pm\sqrt{14}\right)}{2}=3\pm\sqrt{14}$

   那個 $2$ 必須從分子的兩項同時約掉；只拿它去約 $6$ 會得到錯的 $3\pm2\sqrt{14}$。

5. 5

   用根與係數關係與數值雙重驗證。 兩根之和應為 $-b/a=6$：$\left(3+\sqrt{14}\right)+\left(3-\sqrt{14}\right)=6$ ✓。乘積應為 $c/a=-5$：$3^{2}-\left(\sqrt{14}\right)^{2}=9-14=-5$ ✓。數值上 $x\approx6.7417$ 與 $x\approx-0.7417$，代入後殘差都小於 $10^{-11}$ ✓。