解不等式 (3 − x)/(2x + 1) ≥ 1。

Step-by-step solution

1. 1

   千萬別把兩邊乘上 2x + 1。 它在 $x=-\tfrac12$ 處變號，一乘過去，在這個點的某一側不等號方向會悄悄反過來。正確的第一步，是把式子整理成一個分式與零比較。

2. 2

   兩邊減 1，通分合併。

   $\frac{3-x}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{3-x-(2x+1)}{2x+1}\ge0$

   這個減號要作用到 $(2x+1)$ 的兩項上：

   $3-x-2x-1=2-3x$

   於是不等式變成 $\dfrac{2-3x}{2x+1}\ge0$。

3. 3

   找出臨界點。

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23\quad(\text{分子為零}),\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{須排除})$

   它們把數線分成 $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$ 與 $\left(\tfrac23,\infty\right)$ 三段。

4. 4

   每段取一個點試正負號。 取 $x=-1$：$\dfrac{2+3}{-1}=-5<0$。取 $x=0$：$\dfrac{2}{1}=2>0$。取 $x=1$：$\dfrac{-1}{3}<0$。所以只有中間那一段符合要求——分式恰好在兩個臨界點之間為正。

5. 5

   兩個端點要分別判斷，因為它們的性質並不相同。 在 $x=\tfrac23$ 處分子為 $0$，分式等於 $0$，$\ge0$ 成立——要取。在 $x=-\tfrac12$ 處分母為 $0$，式子沒有定義——必須排除。正是這種不對稱，讓解成了一個半開半閉的區間。

6. 6

   寫出解並驗證。

   $-\frac12<x\le\frac23,\qquad\left(-\frac12,\ \frac23\right]$

   在 $[-3,3]$ 上取 $18001$ 個有理測試點用精確分數驗算（跳過 $x=-\tfrac12$），原不等式恰好在這個區間的點上成立，別處都不成立 ✓。