分解 3x² − 14xy + 15y² + 13x − 23y + 4。

Step-by-step solution

1. 1

   先分解二次齊次部分。 任何拆成兩個一次因式的分解，最高次部分相乘都必須是

   $3x^{2}-14xy+15y^{2}=(3x-5y)(x-3y)$

   （驗算：$3x\cdot(-3y)+(-5y)\cdot x=-9xy-5xy=-14xy$。✓）

2. 2

   把未知常數寫進去。 分解式必須長成

   $(3x-5y+p)(x-3y+q)$

   其中常數 $p,q$ 滿足 $pq=4$。

3. 3

   比對 x 的係數。 展開後 $x$ 項是 $3qx+px$，所以 $3q+p=13$。

4. 4

   比對 y 的係數。 $y$ 項是 $-5yq-3py$，所以 $-5q-3p=-23$，即 $5q+3p=23$。

5. 5

   解這個小聯立方程式。 由 $p=13-3q$ 代入得 $5q+39-9q=23$，於是 $-4q=-16$，$q=4$、$p=1$。兩者也符合 $pq=4$。因此

   $\boxed{(3x-5y+1)(x-3y+4)}$

6. 6

   展開確認。 $(3x-5y+1)(x-3y+4)=3x^2-9xy+12x-5xy+15y^2-20y+x-3y+4=3x^2-14xy+15y^2+13x-23y+4$。✓