解方程式 |x² − 13| = 3。

Step-by-step solution

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   依絕對值的定義拆開。 $|A| = 3$ 表示括號內的量離零 $3$ 個單位，方向不限，所以 $A = 3$ 或 $A = -3$。這裡就得到兩個各自獨立的二次方程式：

   $x^2 - 13 = 3 \qquad \text{或} \qquad x^2 - 13 = -3$

   因為 $3 > 0$，兩個分支都是有效的；如果右邊是負數，那就一個解也沒有。

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   解正的那個分支。

   $x^2 - 13 = 3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 16 \;\Longrightarrow\; x = \pm 4$

3. 3

   解負的那個分支。

   $x^2 - 13 = -3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 10 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{10}$

   兩個分支的右邊都是正數，所以每一支確實各貢獻兩個實根 —— 這就是這個方程式有四個解而不是兩個的原因。

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   每個根都驗算一次。 $|4^2 - 13| = |3| = 3$，而 $|(-4)^2 - 13| = 3$。至於那一組無理根，$(\pm\sqrt{10})^2 = 10$，所以 $|10 - 13| = |-3| = 3$。四個都完全吻合。

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   讀出解集。 以 $\sqrt{10} \approx 3.1623$ 在數線上由小到大排列：

   $x = -4,\ -\sqrt{10},\ \sqrt{10},\ 4$