把 (2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1 改寫成完全平方式。

Step-by-step solution

1. 1

   先看形狀，不要急著動代數。 這三項分別是：某個東西的平方、那個同樣東西的兩倍，還有 $1$。這正好是完全平方的形態

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$

   認出它，就省下了先展開成 $4x^2 + 8x + 4$、之後再重新因式分解的工夫。

2. 2

   給重複出現的那一塊取個名字。 令

   $A = 2x + 1$

   那麼這個式子字面上就是 $A^2 + 2A + 1$。中間那一項必須是 $2A$（而不是 $2$ 乘上別的東西），這個形態才適用 —— 這裡 $2(2x+1) = 2A$，確實符合。

3. 3

   套用公式再代回去。

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2 = \bigl((2x+1) + 1\bigr)^2 = (2x+2)^2$

4. 4

   把括號裡的公因數提出來。 括號內兩項都含有因數 $2$：

   $(2x+2)^2 = \bigl(2(x+1)\bigr)^2 = 4(x+1)^2$

   平方形式 $4(x+1)^2$ 通常才是比較理想的最終答案，因為括號已經化到最簡。

5. 5

   把兩邊都展開來驗證。 原式展開得到

   $(4x^2 + 4x + 1) + (4x + 2) + 1 = 4x^2 + 8x + 4$

   而答案展開得到 $4(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 8x + 4$。兩者一致；再在 $x = 3$ 抽查一次：$49 + 14 + 1 = 64 = 4(4)^2$。