用乘法法則化簡 √(3x) · √(21x)，假設所有變數都代表非負實數。

Step-by-step solution

1. 1

   併到同一個根號底下。 乘法法則 $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ 在 $a, b \ge 0$ 時成立，而題目的非負假設正好保證了這一點：

   $\sqrt{3x}\cdot\sqrt{21x} = \sqrt{(3x)(21x)}$

2. 2

   把被開方數乘開。

   $(3x)(21x) = 63x^2 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{63x^2}$

3. 3

   把完全平方的因數拆出來。 分解 $63 = 9 \times 7$，其中 $9$ 是完全平方、$7$ 不含平方因數：

   $\sqrt{63x^2} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{x^2} = 3\sqrt{7}\cdot\sqrt{x^2}$

4. 4

   化簡變數的根式。 一般而言 $\sqrt{x^2} = |x|$，但題目說了 $x \ge 0$，所以絕對值可以省略，$\sqrt{x^2} = x$。因此

   $\sqrt{3x}\cdot\sqrt{21x} = 3x\sqrt{7}$

5. 5

   取 x = 3 做數值檢查。 原式是 $\sqrt{9}\cdot\sqrt{63} = 3 \times 7.937254 = 23.811762$。化簡後的形式給出 $9\sqrt7 = 9 \times 2.645751 = 23.811762$。兩者到小數第六位一致。