解複合不等式 −4 ≤ 3x − 1 ≤ 8。

Step-by-step solution

1. 1

   看出這是一個連鎖敘述，而不是兩題。 $-4\le3x-1\le8$ 主張 $-4\le3x-1$ 而且 $3x-1\le8$ 同時成立。因為變數只出現在中間那一段，兩個條件可以一次處理完——每個運算只要同時施加在三個部分上就行。

2. 2

   三個部分同加 1。 每一部分加上同一個常數，兩個不等號的方向都會保持：

   $-4+1\le3x-1+1\le8+1\qquad\Longrightarrow\qquad-3\le3x\le9$

3. 3

   三個部分同除以 3。 除數是正數，所以兩個 $\le$ 都不會翻面。（如果除的是 $-3$，兩個不等號都要反向，整條鏈也得由大到小重寫。）

   $\frac{-3}{3}\le\frac{3x}{3}\le\frac{9}{3}\qquad\Longrightarrow\qquad-1\le x\le3$

4. 4

   把答案寫成兩端都含端點的形式。 用區間符號就是 $[-1,3]$。兩端都含在解裡，因為原本的關係式允許取等號；括號的形狀不是裝飾，它記錄的正是這件事。

5. 5

   驗證兩個端點與一個內點。 取 $x=-1$：$3(-1)-1=-4$，而 $-4\le-4$ ✓（左端點取得到）。取 $x=3$：$3(3)-1=8$，而 $8\le8$ ✓（右端點取得到）。取 $x=0$：得 $-1$，穩穩落在內部 ✓。區間外的 $x=4$ 給出 $11>8$ ✗。拿原始鏈條與 $[-1,3]$ 在 $110$ 個精確有理點上比對，處處一致 ✓。