解不等式 (x − 1)(x + 2)(x − 3) < 0，並以區間表示法寫出解集合。

Step-by-step solution

1. 1

   不要把乘積展開。 不等式已經是因式分解的形式，而這正是我們要的樣子。乘開後會得到 $x^3-2x^2-5x+6$，那對判斷正負毫無幫助。乘積的正負取決於有幾個因式是負的，所以請保留因式形式，一個因式一個因式地看。

2. 2

   求出每個因式的零點。 令各因式為零：

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   只有這些點會讓乘積變號，因為連續函數要由負變正，一定得經過 $0$。

3. 3

   在 $-2$、$1$、$3$ 處把數線切開。 三個零點把實數線切成四個開區間：

   $(-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,3),\quad (3,+\infty)$

   在每個區間內乘積的正負固定不變，所以只要取一個測試點就能決定整個區間。

4. 4

   每個區間取一個點測試。 記下每個因式的正負號，而不是算出數值：

   區間	測試 $x$	$x+2$	$x-1$	$x-3$	乘積
   $(-\infty,-2)$	$-3$	$-$	$-$	$-$	$-$
   $(-2,1)$	$0$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$	$2$	$+$	$+$	$-$	$-$
   $(3,+\infty)$	$4$	$+$	$+$	$+$	$+$

   三個負數相乘為負，兩個負數相乘為正，規則就這麼簡單。

5. 5

   注意正負交替的規律。 因為每個因式都是一次方（每個根都是單根），所以每經過一個零點正負就翻一次。從最右邊全部為正的區間往左看，符號依序是 $+,-,+,-$。只要知道最右邊區間的正負，其餘不用測試就能填完——上面那張表其實只是驗算。

6. 6

   收集乘積為負的區間，並排除端點。 乘積在 $(-\infty,-2)$ 與 $(1,3)$ 上為負。不等式是嚴格小於，所以 $x=-2$、$x=1$、$x=3$（在這些點乘積等於 $0$，而不是小於 $0$）要排除：

   $\boxed{(-\infty,-2)\cup(1,3)}$

   抽查：$x=-3$ 得 $(-4)(-1)(-6)=-24<0$，$x=2$ 得 $(1)(4)(-1)=-4<0$，而 $x=0$ 得 $(-1)(2)(-3)=6>0$，與預期一致。