解方程式 −1/m + 1 − m = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先記下定義域。 $\tfrac1m$ 這一項要求 $m\neq 0$，所以若算出 $0$ 這個候選根，就必須捨棄。

2. 2

   兩邊同乘 $m$。 因為 $m\neq 0$，這一步是可逆的：

   $-1+m-m^2=0$

3. 3

   把首項係數化為正。 乘以 $-1$，讓 $m^2$ 項變成正的：

   $m^2-m+1=0$

4. 4

   算出判別式，並直接讀出結論。 取 $a=1$、$b=-1$、$c=1$：

   $\Delta=(-1)^2-4(1)(1)=1-4=-3<0$

   判別式為負代表沒有實數解。從幾何看，$y=m^2-m+1=\left(m-\tfrac12\right)^2+\tfrac34$ 的最小值是 $\tfrac34>0$，所以圖形永遠碰不到橫軸。

5. 5

   為了完整起見寫出複數根。 $\sqrt{-3}=i\sqrt3$，所以

   $m=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}$

   它們是 1 的兩個原始六次方根，各自的絕對值都是 $1$。檢查：兩者之和為 $1$，兩者之積為 $\tfrac{1+3}{4}=1$，與 $-\tfrac{b}{a}$ 和 $\tfrac{c}{a}$ 相符 $\checkmark$。