某個複矩陣的特徵多項式為 x³(x − 1)⁴，這樣的矩陣共有多少個相似類？

Step-by-step solution

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   利用「在 $\mathbb{C}$ 上 Jordan 形是完全不變量」這個事實。 兩個複矩陣相似，若且唯若它們有相同的 Jordan 標準形（區塊順序不計）。所以數相似類就等於數可能的 Jordan 形——沒有別的資料能再區分它們。

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   從特徵多項式讀出特徵值與它們的代數重數。 由 $x^3(x-1)^4$ 可知矩陣是 $7\times 7$，且

   $\lambda=0 \text{ 的重數為 } 3,\qquad \lambda=1 \text{ 的重數為 } 4$

   特徵多項式固定了每個特徵值上所有區塊的總大小，卻沒有固定這個總量要怎麼拆成區塊——而那正是剩下的自由度。

3. 3

   把「區塊大小」翻譯成整數分割。 同一個特徵值的 Jordan 區塊，大小都是正整數，且總和等於它的代數重數，順序又不計較。所以特徵值 $\lambda$ 上的選擇，與它的重數的分割一一對應，個數由分割函數 $p$ 給出。

4. 4

   列出 $3$ 與 $4$ 的所有分割。 對 $\lambda=0$：

   $3,\quad 2+1,\quad 1+1+1\qquad\Longrightarrow\quad p(3)=3$

   對 $\lambda=1$：

   $4,\quad 3+1,\quad 2+2,\quad 2+1+1,\quad 1+1+1+1\qquad\Longrightarrow\quad p(4)=5$

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   相乘，因為兩個特徵值是各自獨立選的。 $0$ 處的 Jordan 結構對 $1$ 處的結構毫無限制，所以總數就是乘積：

   $p(3)\cdot p(4)=3\cdot 5=15$

   其中一類的代表元是 $J_2(0)\oplus J_1(0)\oplus J_3(1)\oplus J_1(1)$；讓兩個分割各自獨立變動，就掃遍全部 $15$ 類。

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   檢查兩個極端。 兩邊都取全為 $1$ 的分割，得到可對角化的矩陣 $\operatorname{diag}(0,0,0,1,1,1,1)$——恰好一類。兩邊都取單一區塊的分割，得到 $J_3(0)\oplus J_4(1)$，這一類的最小多項式 $x^3(x-1)^4$ 與特徵多項式相同。兩者都各自被算進那 $15$ 類裡一次。