解 x^2 - 3x - 10 >= 0 與 x^2 - 1 <= 0，並求同時滿足兩式的 x。

Step-by-step solution

1. 1

   把第一個二次式因式分解。 乘積為 $-10$、和為 $-3$ 的兩數是 $-5$ 與 $+2$：

   $x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2)\ge 0$

   臨界點：$x=-2$ 與 $x=5$。

2. 2

   從拋物線讀出第一個解集。 首項係數為正，所以這條開口向上的拋物線在兩根之外才會落在 x 軸上或上方（代 $x=0$：$-10<0$，可見中間那段不成立）：

   $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$

   兩個端點都包含在內，因為不等號不是嚴格的。

3. 3

   把第二個二次式用平方差分解。

   $x^{2}-1=(x-1)(x+1)\le 0$

   臨界點：$x=-1$ 與 $x=1$。

4. 4

   讀出第二個解集。 開口向上的拋物線在兩根之間才會落在 x 軸上或下方（代 $x=0$：$-1\le 0$ ✓）：

   $[-1,1]$

5. 5

   取兩個集合的交集。 把它們畫在同一條數線上：第二個集合整個落在 $(-2,5)$ 裡面，而那正是第一個集合排除掉的區間。形式上 $[-1,1]\cap(-\infty,-2]=\varnothing$ 且 $[-1,1]\cap[5,\infty)=\varnothing$，所以

   $\left((-\infty,-2]\cup[5,\infty)\right)\cap[-1,1]=\varnothing$

6. 6

   兩個答案都寫出來。 分開看：$(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$ 與 $[-1,1]$。合起來看：沒有任何實數 $x$ 能同時滿足 ——這個聯立是矛盾的；每當同時加上兩個二次不等式時，都值得檢查一下是不是這種情況。