用公式解解 4.08x² − 652.85x + 10236 = 0，兩根都取到小數點後三位。

Step-by-step solution

1. 1

   連同正負號一起讀出 $a$、$b$、$c$。 與 $ax^{2}+bx+c=0$ 對照：

   $a=4.08,\qquad b=-652.85,\qquad c=10236.$

   中間的係數是負的；把這個負號一路帶進 $-b$ 裡，正是兩根都會是正數的原因。因為 $a>0$、$c>0$ 而 $b<0$，所以（若為實根）兩根必定都是正的。

2. 2

   分開計算 $b^{2}$ 與 $4ac$。 把判別式的兩半分開來算，算錯時才看得出來：

   $b^{2}=652.85^{2}=426213.1225,$

   $4ac=4\times 4.08\times 10236=16.32\times 10236=167051.52.$

   第二個乘積是最常算錯的一步：$16.32\times10236=163776+3275.52$，若漏掉 $0.32\times10236=3275.52$ 這一塊，判別式就會差 $3275.52$——足以讓每個根偏掉大約 $0.39$。

3. 3

   組出判別式並開根號。 相減得

   $\Delta=426213.1225-167051.52=259161.6025,$

   $\sqrt{\Delta}=509.07917\ldots$

   因為 $\Delta>0$，所以有兩個相異實根——與第 1 步的正負號推理一致。

4. 4

   以 $2a=8.16$ 套公式。 代入之後，

   $x=\frac{652.85\pm 509.07917}{8.16}.$

   取正號那一支：$\dfrac{1161.92917}{8.16}=142.39328$。取負號那一支：$\dfrac{143.77083}{8.16}=17.61897$。

5. 5

   用根與係數關係驗算。 兩根之和必須等於 $-b/a$，兩根之積必須等於 $c/a$：

   $142.39328+17.61897=160.01225=\frac{652.85}{4.08} ✓,$

   $142.39328\times 17.61897=2508.82\ldots=\frac{10236}{4.08} ✓.$

   兩個關係都成立，這同時確認了判別式的算術與後面的除法。