解 (1+x)³⁶ + (1+x)³⁵ + (1+x)³⁴ + (1+x)³³ + (1+x)³² + (1+x)³¹ + (1+x)³⁰ + (1+x)²⁹ + (1+x)²⁸ + (1+x)²⁷ = 70/3。

Step-by-step solution

1. 1

   代換，把等比結構顯出來。 令 $y = 1 + x$。這十項就是 $y$ 的連續次方，於是

   $y^{27} + y^{28} + \cdots + y^{36} = \frac{70}{3}$

   換成 $y$ 之後，原本看來零散的一堆項立刻變成一條等比級數，也就免去了展開二項式的衝動。

2. 2

   提出最低次方，再套等比求和公式。

   $y^{27}\left(1 + y + y^2 + \cdots + y^9\right) = y^{27}\cdot\frac{y^{10} - 1}{y - 1} = \frac{70}{3}, \qquad y \ne 1$

   括號裡是一條公比為 $y$ 的 $10$ 項等比級數。

3. 3

   先在 y = 1 處取值，把根框住。 當 $y = 1$ 時每一項都是 $1$，左邊恰好等於 $10$。既然 $\frac{70}{3} \approx 23.33 > 10$，而這個和在 $y > 0$ 上嚴格遞增（每個 $y^n$ 都遞增），根就必須滿足 $y > 1$，也就是 $x > 0$。嚴格單調同時保證了這樣的根有且只有一個。

4. 4

   數值上把根夾出來。 取 $f(y) = \sum_{n=27}^{36} y^n$ 逐個試算：

   $f(1.02) \approx 18.69, \qquad f(1.025) \approx 21.82, \qquad f(1.03) \approx 25.46$

   可見根落在 $1.025$ 與 $1.03$ 之間，而且略偏左，因為 $f$ 漲得很陡（在 $y = 1.03$ 附近導數大約是 $785$）。

5. 5

   提高精度再換回 x。 二分到足夠精度得到

   $y \approx 1.0271668 \ \Longrightarrow \ x = y - 1 \approx 0.0271668$

   驗算：$\sum_{n=27}^{36}(1.0271668)^n = 23.333346$，與 $\frac{70}{3} = 23.333333$ 在六位有效數字上吻合。若把中間量 $y$ 四捨五入到小數三位（$1.028$），和馬上就跳到約 $23.94$，所以多留幾位是必要的。

6. 6

   說明一下為什麼沒有封閉解。 這個方程式歸結為一個 $36$ 次多項式，既沒有有理根，也沒有分圓多項式那樣的結構，所以數值根就是最終答案。單調性的論證只覆蓋 $y>0$：$y<0$ 時奇次方變成負的，和不再遞增。把它在 $[-3,3]$ 上掃一遍，會發現第二處變號——$f(-1.11)=14.59$、$f(-1.15)=61.67$ 把 $70/3$ 夾在中間——二分得 $y\approx-1.1226359$，也就是 $x\approx-2.1226359$。所以這個方程式有兩個實數解；只停在正根上會漏掉一半答案。