解 285a + 315b + 590c = 21806。它有整數解嗎？實數解集又是什麼？

Step-by-step solution

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   先算係數的最大公因數。 $\gcd(285, 315) = 15$，$\gcd(15, 590) = 5$，所以

   $\gcd(285, 315, 590) = 5$

   左式每一項都是 $5$ 的倍數，因此不論整數 $a, b, c$ 取什麼值，整個左式都是 $5$ 的倍數。

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   把整除判別法用到右式。 線性不定方程式 $\sum k_i x_i = N$ 有整數解，其充要條件是 $\gcd(k_1,\dots,k_n)$ 整除 $N$。這裡

   $21{,}806 = 5 \times 4361 + 1$

   所以 $21{,}806 \equiv 1 \pmod 5$，最大公因數的條件不成立。

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   下結論：整數解並不存在。 因為左式 $\equiv 0 \pmod 5$ 而右式 $\equiv 1 \pmod 5$，任何整數取法都無法讓等式成立。要注意這裡不能「兩邊同除以 5」—— $\tfrac{21806}{5} = 4361.2$ 不是整數，寫成 $57a + 63b + 118c = 4361$ 等於悄悄換了一題。

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   改為描述實數解集。 在 $\mathbb{R}$ 上這是三個未知數搭配一個方程式，所以解集是 $\mathbb{R}^3$ 中的一個平面。解出 $a$ 得到參數式

   $a = \frac{21806 - 315b - 590c}{285}, \qquad b, c \in \mathbb{R}$

   兩個自由參數，正是一個平面該有的樣子。

5. 5

   取樣本點驗算。 取 $b = c = 0$ 得 $a = \tfrac{21806}{285} = 76.5123$，而 $285 \times 76.5123 = 21806.0$。再取 $b = 10$、$c = 5$：$a = \tfrac{21806 - 3150 - 2950}{285} = \tfrac{15706}{285} = 55.1088$，而 $285(55.1088) + 3150 + 2950 = 21806.0$。兩次算出的 $a$ 都不是整數，與模 5 的阻礙完全吻合。

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   什麼情況下才會有整數解？ 如果右式換成 $21{,}805$ 或 $21{,}810$ —— 只要是 $5$ 的倍數 —— 最大公因數判別就能通過，整數解也就存在了；例如 $285(1) + 315(0) + 590(36) = 21{,}525$ 就顯示整數格點離目標有多近。真正把整數解排除掉的，正是 $21{,}806$ 這個特定的值。