解不等式 x² − 2x − 1 > 0。

Step-by-step solution

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   先試因式分解，看看為什麼行不通。 $-1$ 的整數因數只有 $\pm1$，沒有一組的和是 $-2$。所以這個三項式在整數範圍內分解不了，也就是說分界點必須靠公式解、而不是因式分解來取得。

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   用公式解求對應方程式的根。 取 $a=1$、$b=-2$、$c=-1$：

   $x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2$

   判別式 $8$ 是正的，但不是完全平方數，所以邊界是無理數。

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   記下邊界的近似值。 $1-\sqrt2\approx-0.4142$，$1+\sqrt2\approx2.4142$。手邊有小數值，符號推理與最後的檢查都會比較具體。

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   用開口方向取代符號表。 首項係數 $a=1$ 是正的，所以圖形是一條開口向上、在那兩點與軸相交的拋物線。開口向上的拋物線在兩根之間為負、在兩根之外為正。題目要的是 $>0$，所以取外側：

   $x<1-\sqrt2\qquad\text{或}\qquad x>1+\sqrt2$

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   用測試點確認。 在 $x=0$（內側）：$0-0-1=-1<0$，確實該排除。在 $x=-1$（左側）：$1+2-1=2>0$ ✓。在 $x=3$（右側）：$9-6-1=2>0$ ✓。

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   注意嚴格與否，並寫成區間。 不等式是嚴格的，所以式子恰好等於 $0$ 的兩根要排除：

   $(-\infty,\,1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2,\,\infty)$

   在 $[-6,6]$ 上掃描 $1201$ 個點，結果與這個集合處處相符 ✓。