機車的速率比腳踏車快 40 km/h，因此騎完 30 公里比腳踏車少花一小時。腳踏車花了多少時間？選項有 2 小時、1.5 小時、1 小時、3 小時。

Step-by-step solution

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   設速率，而不是設時間。 令 $v$ 為腳踏車的速率（公里/小時），機車就是 $v+40$。把速率設成未知數，可以讓兩段時間都寫成同一段路程的簡單商：

   $t_{\text{腳踏車}}=\frac{30}{v},\qquad t_{\text{機車}}=\frac{30}{v+40}.$

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   把「少花一小時」翻成方程式。 慢的那一方多花一小時，所以照這個順序相減：

   $\frac{30}{v}-\frac{30}{v+40}=1.$

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   去分母。 兩邊同乘 $v(v+40)$，由於 $v>0$ 它不為零：

   $30(v+40)-30v=v(v+40)\ \Longrightarrow\ 1200=v^{2}+40v.$

   兩個 $30v$ 互相抵消，這正是後續運算能保持乾淨的原因。

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   解二次方程式並捨去負根。

   $v^{2}+40v-1200=0\ \Longrightarrow\ v=\frac{-40\pm\sqrt{1600+4800}}{2}=\frac{-40\pm 80}{2},$

   得 $v=20$ 或 $v=-60$。速率不可能是負的，所以 $v=20\ \text{公里/小時}$。

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   回答題目真正問的東西。 題目要的是腳踏車的時間，不是速率：

   $t=\frac{30}{20}=1.5\ \text{小時},$

   也就是選項 2。

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   回頭核對題意。 機車以 $60\ \text{公里/小時}$ 行駛，花 $30/60=0.5$ 小時；腳踏車花 $1.5$ 小時。兩者相差恰好一小時，而速率相差 $40\ \text{公里/小時}$ ✓。