解不等式 (2x − 1)/(1 − x) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   千萬別交叉相乘。 兩邊同乘 $1-x$ 需要先知道它的正負號，而這個正負號在 $x=1$ 處就會改變。分式不等式穩妥的做法是：拿分子、分母的零點列一張符號表。

2. 2

   找出臨界點。

   $2x-1=0\Rightarrow x=\frac12\quad(\text{分子的零點}),\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\quad(\text{分母的零點，須排除})$

   這兩點把數線切成 $\left(-\infty,\tfrac12\right)$、$\left(\tfrac12,1\right)$ 與 $(1,\infty)$。在每一段的內部，式子的正負號都不可能改變。

3. 3

   每個區間取一個值試算。 取 $x=0$：$\dfrac{-1}{1}=-1<0$。取 $x=\tfrac34$：$\dfrac{3/2-1}{1/4}=\dfrac{1/2}{1/4}=2>0$。取 $x=2$：$\dfrac{3}{-1}=-3<0$。所以正負號依序是負、正、負——式子只在中間那一段為正。

4. 4

   定端點，這一步最容易丟分。 在 $x=\tfrac12$ 處分式的值是 $\dfrac{0}{1/2}=0$，而 $0\ge0$ 成立，所以 $x=\tfrac12$ 要取到。在 $x=1$ 處分母為 $0$，式子沒有定義，所以 $x=1$ 必須排除——不管不等號朝哪邊都一樣。

5. 5

   把解寫成半開區間。

   $\frac12\le x<1,\qquad\left[\frac12,\ 1\right)$

   一個方括號一個圓括號的這種不對稱，就是這道題的全部內容。

6. 6

   掃描驗證。 在 $[-3,3]$ 上取 $6001$ 個點（跳過 $x=1$）逐點算出分式的值，再與上面給出的區間比對，零處不符 ✓。