分解 6x(x − y)² + 3(y − x)(y − x)²。

Step-by-step solution

1. 1

   先把第二項併成單一次方。 乘積 $(y-x)(y-x)^2$ 就是 $(y-x)^3$：

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3$

   寫成一個次方，指數的奇偶才看得出來，而下一步正是靠這件事。

2. 2

   用變號規則把兩個二項式統一。 因為 $y - x = -(x-y)$，奇次方會多出一個負號，偶次方則不會：

   $(y-x)^3 = \left[-(x-y)\right]^3 = -(x-y)^3, \qquad (y-x)^2 = (x-y)^2$

   這是最容易出符號錯誤的一步：只有奇次方會變號。

3. 3

   把整個式子改寫成以 (x − y) 為底。

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3 = 6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$

   現在兩項的二項式底相同，就能提公因式了。

4. 4

   提出最大公因式。 $6$ 與 $3$ 的最大公因數是 $3$，二項式取較低的次方 $(x-y)^2$：

   $6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3 = 3(x-y)^2\Big[2x - (x-y)\Big]$

5. 5

   化簡剩下的括號。

   $2x - (x - y) = 2x - x + y = x + y$

   $\Longrightarrow \quad 6x(x-y)^2 + 3(y-x)(y-x)^2 = 3(x-y)^2(x+y)$

6. 6

   代值檢查。 取 $(x,y) = (3,5)$，原式為 $6(3)(4) + 3(2)(4) = 72 + 24 = 96$，分解後的形式得 $3(4)(8) = 96$。在 $(-2, 7)$ 與 $\left(\tfrac12, \tfrac13\right)$ 用精確分數運算也同樣吻合。$(x-y)^2$ 與 $x+y$ 都不能再分，所以分解完全。