將 x³ + x² − x − 1 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   把四項兩兩分組。 四項而且沒有共同因式的三次式，是分組法最典型的對象：

   $\left(x^3+x^2\right)+(-x-1)$

2. 2

   各組提出公因式，讓共同的二項式浮現。 第一組提 $x^2$，第二組提 $-1$：

   $x^2(x+1)-1(x+1)$

   提出 $-1$ 而不是 $+1$ 是關鍵：$-x-1=-1(x+1)$。

3. 3

   提出共同的二項式。

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)\left(x^2-1\right)$

4. 4

   別停手——把平方差再分解。 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，於是出現重複的因式：

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)(x-1)(x+1)=(x+1)^2(x-1)$

5. 5

   用展開與代根兩種方式驗算。 $(x+1)^2(x-1)=(x^2+2x+1)(x-1)=x^3+x^2-x-1$ $\checkmark$。根是 $x=-1$（二重）與 $x=1$；把 $x=-1$ 代回原式得 $-1+1+1-1=0$ $\checkmark$。