將 x² − 2xy + y² − 9 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   找一個能湊出平方的分組方式。 面對四項，直覺會想拆成 $2+2$——但這裡該併在一起的是前三項，因為 $x^2-2xy+y^2$ 正是完全平方的經典型：兩個平方項，加上一個等於 $-2$ 乘以兩個平方根乘積的中間項。

2. 2

   把前三項併起來。

   $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$

   於是式子變成

   $(x-y)^2-9$

   看起來是雙變數的問題，現在只剩 $x-y$ 這一個量的單變數問題。

3. 3

   認出平方差。 因為 $9=3^2$，這就是 $A^2-B^2$，其中 $A=x-y$、$B=3$，而

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

4. 4

   代入並寫出因式。

   $(x-y)^2-3^2=\bigl((x-y)-3\bigr)\bigl((x-y)+3\bigr)=(x-y-3)(x-y+3)$

5. 5

   確認分解已經完整。 兩個因式對 $x$ 與 $y$ 都是一次的，沒有東西可以再拆。順帶一提，這個式子恰好在 $x-y=3$ 與 $x-y=-3$ 這兩條平行線上為零——這是答案的幾何讀法。

6. 6

   數值驗算。 把原式與乘積在 $[-6,6]$ 中隨機取的 $60$ 組 $(x,y)$ 上比較，每一組都在機器精度內相等 ✓。抽查 $x=5,y=1$：原式 $=25-10+1-9=7$，而 $(5-1-3)(5-1+3)=(1)(7)=7$ ✓。