解不等式 (2 − x)(2x − 3) > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   保留因式形式，先找零點。 乘積的正負由因式決定，所以不要展開：

   $2-x=0\Rightarrow x=2,\qquad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac32$

   它們把數線切成 $\left(-\infty,\tfrac32\right)$、$\left(\tfrac32,2\right)$ 與 $(2,\infty)$。

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   每個區間各取一點測試。 在 $x=0$：$(2)(-3)=-6<0$。在 $x=1.75$（兩根之間）：$(0.25)(0.5)=0.125>0$。在 $x=3$：$(-1)(3)=-3<0$。符號依序是負、正、負。

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   從首項係數解釋這個規律。 真的展開的話，首項會是 $(-x)(2x)=-2x^2$ — 開口向下的拋物線。開口向下的拋物線在兩根之間為正、在兩根之外為負，與熟悉的情形正好相反。習慣性寫成「兩根之外」就是這裡的標準錯誤。

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   取兩根之間的區間，注意哪個根比較小。 因為 $\tfrac32=1.5<2$：

   $\frac32<x<2$

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   排除端點。 不等式是嚴格的，所以乘積恰為 $0$ 的那兩點不屬於解集合。用區間表示就是 $\left(\tfrac32,2\right)$ — 一個寬度只有 $\tfrac12$ 的開區間。

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   用掃描驗證。 在 $[-5,5]$ 上取 $10{,}001$ 個點、用精確分數計算乘積，再與 $\left(\tfrac32,2\right)$ 比對，每一點都吻合 ✓。