函數 f(x) = |x + 2| − 3 先對 x 軸作對稱，再向下平移 2 單位。寫出新函數的方程式。

Step-by-step solution

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   先讀出原來的頂點。 $f(x)=|x+2|-3$ 開口向上，頂點是 $(-2,-3)$；它與 $x$ 軸有兩個交點，在 $|x+2|=3$ 處，也就是 $x=-5$ 與 $x=1$。

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   對 $x$ 軸作對稱：整體取相反數。 每個函數值都要變號，所以右邊整體前面加一個負號：

   $-f(x)=-\left(|x+2|-3\right)=-|x+2|+3$

   常數項從 $-3$ 翻成了 $+3$。把這個負號正確地乘進兩項裡，就是這道題唯一的難點。

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   再向下平移 2 單位。 在對稱後的函數上減 $2$：

   $-|x+2|+3-2=-|x+2|+1$

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   最後的方程式及其形狀。

   $f(x)=-|x+2|+1,\qquad \text{頂點為 }(-2,1),\ \text{開口向下}$

   頂點在對稱後從 $(-2,-3)$ 變到 $(-2,3)$，再下移 $2$ 到 $(-2,1)$。

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   用點與截距驗證。 原來的點 $(0,-1)$ 對稱成 $(0,1)$，再平移回 $(0,-1)$；而式子算出 $-|0+2|+1=-2+1=-1\;\checkmark$。新的 $x$ 軸交點滿足 $|x+2|=1$，即 $x=-3$ 與 $x=-1$——兩個根從 $\{-5,1\}$ 向內收攏了，這與「開口向下、頂點只比橫軸高 $1$ 單位的 V 形」正好相符。