化簡 (∛a + ∛b) 除以 (2 + ∛(a/b) + ∛(b/a))。

Step-by-step solution

1. 1

   用變數代換把根號藏起來。 令

   $x=\sqrt[3]{a},\qquad y=\sqrt[3]{b},$

   於是 $\sqrt[3]{a/b}=x/y$、$\sqrt[3]{b/a}=y/x$。式子就成為 $x$ 與 $y$ 的純有理式：

   $\frac{x+y}{2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}.$

   這個代換就是本題的用意：看似毫不相干的幾個立方根，其實不過是 $x$ 和 $y$。

2. 2

   把分母通分到 $xy$ 上。

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{2xy+x^{2}+y^{2}}{xy}.$

3. 3

   認出那個分子是個完全平方。 因為 $x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$，

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{(x+y)^{2}}{xy}.$

   原式上方那個 $x+y$，現在以平方的身分出現在下方——約分之所以可行，就是靠這一點。

4. 4

   除法改成乘上倒數。

   $\frac{x+y}{\dfrac{(x+y)^{2}}{xy}}=(x+y)\cdot\frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{xy}{x+y}.$

5. 5

   換回原來的變數並檢查。 因為 $xy=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$、$x+y=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$，

   $\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}},$

   在 $a\ne0$、$b\ne0$ 且 $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\ne0$ 時成立。取 $a=8$、$b=27$ 測試：$x=2$、$y=3$，原式的分母是 $2+\tfrac23+\tfrac32=\tfrac{25}{6}$、分子是 $5$，商為 $6/5$；公式給出的 $xy/(x+y)=6/5$ 也一樣。