用配方法解 −4.4912x² − 0.5182x + 30.066 = 0，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   把首項係數從前兩項提出來。

   $-4.4912\left(x^2+\frac{0.5182}{4.4912}x\right)+30.066=-4.4912\left(x^2+0.115381x\right)+30.066$

   只有 $x^2$ 項與 $x$ 項要進括號，常數留在外面 —— 這樣帳才不會算亂。

2. 2

   在括號裡配方。 一次項係數的一半是 $0.05769059$，它的平方是 $0.00332820$：

   $x^2+0.115381x=\left(x+0.05769059\right)^2-0.00332820$

3. 3

   把首項係數乘回去。

   $-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+4.4912(0.00332820)+30.066=-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+30.08095$

   這就是頂點式：拋物線的最高點在 $\left(-0.05769,\,30.08095\right)$。因為最大值為正、而且開口向下，必定存在兩個實根。

4. 4

   由頂點式解出 $x$。

   $\left(x+0.05769059\right)^2=\frac{30.08095}{4.4912}=6.697753\;\Longrightarrow\;x+0.05769059=\pm 2.588002$

   $x=-0.05769059\pm 2.588002$

5. 5

   算出數值並驗算。

   $x_1=-2.64569,\qquad x_2=2.53031$

   根與係數關係兩項都吻合：兩根之和應該等於 $-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-0.5182}{-4.4912}=-0.11538$，而 $-2.64569+2.53031=-0.11538\;\checkmark$；兩根之積應該等於 $\tfrac{c}{a}=\tfrac{30.066}{-4.4912}=-6.69442$，而 $(-2.64569)(2.53031)=-6.69442\;\checkmark$。兩根對稱地分布在頂點橫座標 $-0.05769$ 的兩側，正如頂點式所預測。