解 log10(log10(x + 0.6)) = 8.8289 − 3.2511 log10(284 + 273.15)，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把右邊收成一個數。 右邊沒有 $x$，純粹是算術。從對數裡面開始算：

   $284+273.15=557.15$

   （把攝氏溫度加上 $273.15$ 這個形狀，正是它出自安東尼式蒸氣壓公式的線索。）

2. 2

   算出右邊的數值。

   $\log_{10}(557.15)=2.7459721,\qquad3.2511\times2.7459721=8.9274300$

   所以

   $8.8289-8.9274300=-0.0985300$

   結果是負的，這沒有問題：它是介於 $0$ 與 $1$ 之間某個數的對數，並不是不可能的情形。

3. 3

   剝掉外層的對數。 兩邊都取 $10$ 的次方：

   $\log_{10}(x+0.6)=10^{-0.0985300}=0.7970214$

   取指數把負值變成一個小於 $1$ 的正數 ✓。

4. 4

   再剝掉內層的對數。 又取一次指數：

   $x+0.6=10^{0.7970214}=6.2664474$

5. 5

   解出 $x$ 並檢查定義域。

   $x=6.2664474-0.6=5.6664474\approx5.666$

   在這個值上兩層對數都合法：$x+0.6=6.266>0$，而 $\log_{10}(6.266)=0.797>0$，所以外層對數的引數也是正的 ✓——巢狀對數兩個條件都得成立，這裡都成立。

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   代回去驗算。 計算 $\log_{10}\left(\log_{10}(5.6664474+0.6)\right)$ 得到 $-0.0985300$，與右邊吻合到 $10^{-7}$ 以內 ✓。因為外層的 $10^{u}$ 會放大誤差，中間步驟至少要帶七位數：太早把 $-0.0985$ 四捨五入，$x$ 就會在小數第三位偏掉。