化簡 (1 − 2√(b/a) + b/a) 除以 (√a − √b) 的平方。

Step-by-step solution

1. 1

   把分子看成完全平方。 令 $u=\sqrt{b/a}$。則 $b/a=u^{2}$，分子成為

   $1-2u+u^{2}=(1-u)^{2}=\left(1-\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)^{2}.$

   看出 $1-2u+u^{2}$ 這個平方式就是整題的關鍵；看不出來的話根號永遠約不掉。

2. 2

   把這個平方式通分。 因為 $a>0$ 時 $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$，

   $1-\frac{\sqrt b}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a},\qquad\text{所以}\qquad\left(1-\sqrt{\tfrac ba}\right)^{2}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}{a}.$

   注意 $(\sqrt a)^{2}=a$，最後答案裡那個單獨的 $a$ 就是這樣來的。

3. 3

   除以分母。 分母是 $\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)^{2}=(\sqrt a-\sqrt b)^{2}$，正好就是現在擺在分子裡的那個因式：

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}/a}{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}=\frac{1}{a}.$

4. 4

   寫出讓約分合法的條件。 我們需要 $a>0$ 才有 $\sqrt a$、也才有 $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$；需要 $b\ge0$ 才有 $\sqrt b$；還需要 $a\ne b$ 才能保證 $(\sqrt a-\sqrt b)^{2}\ne0$、除法有定義。在這些條件下，其值為 $1/a$，完全與 $b$ 無關。

5. 5

   代數字驗算。 取 $a=9$、$b=4$。分子是 $1-2\sqrt{4/9}+4/9=1-\tfrac43+\tfrac49=\tfrac19$；分母是 $(3-2)^{2}=1$；商是 $\tfrac19=1/a$。再取 $a=4$、$b=25$：分子 $1-2(2.5)+6.25=2.25$，分母 $(2-5)^{2}=9$，商 $0.25=1/4$。兩組都吻合。