解 3x + 5 = −2|x − 1|。

Step-by-step solution

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   用右邊的正負號先砍掉大半工作量。 絕對值永遠不會是負的，所以 $|x-1|\ge0$，因此 $-2|x-1|\le0$。左邊必須配合：

   $3x+5\le0\quad\Longrightarrow\quad x\le-\frac53$

   光是這一行，就在還沒開始分情況之前先刪掉了數線上絕大部分的區域 —— 尤其是保證了 $x<1$。

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   化簡成單一情況。 既然每個候選值都滿足 $x\le-\tfrac53<1$，絕對值裡面必為負，所以

   $|x-1|=1-x$

   $x\ge1$ 那個情況根本不必去檢查。

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   代入並展開。

   $3x+5=-2(1-x)=-2+2x$

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   解出這個一次方程式。

   $3x-2x=-2-5\quad\Longrightarrow\quad x=-7$

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   確認候選值符合該情況的條件。 $-7\le-\tfrac53$ 成立嗎？成立，$-7<-1.67$ ✓。假如算出來的值大於 $1$，那就會是增根、必須捨去 —— 這個檢查不是可有可無的。

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   代回原方程式驗算，並確認解的唯一性。 左邊：$3(-7)+5=-16$。右邊：$-2|-7-1|=-2(8)=-16$ ✓。從 $-30$ 到 $30$ 掃過 $6001$ 個點，只找到 $x=-7$ 這一個解 ✓，而這正是前面的正負號論證早就預測到的：在 $x<1$ 上 $3x+5$ 遞增，而 $-2|x-1|$ 遞增得比較慢。