設 Z1、Z2 為複數，滿足 Z1 的共軛乘 Z2 的倒數等於 2，且 (1 − i)(Z1 的共軛 + 3) = 4 Z2。求 (Z2 乘 Z1 的三次方) 除以 (−Z2) 的絕對值。
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設 Z1Z_1Z1 與 Z2Z_2Z2 為複數，滿足 Z1‾⋅Z2−1=2\overline{Z_1}\cdot Z_2^{-1}=2Z1⋅Z2−1=2 且 (1−i)(Z1‾+3)=4Z2(1-i)\left(\overline{Z_1}+3\right)=4Z_2(1−i)(Z1+3)=4Z2。求 ∣Z2⋅Z13−Z2∣.\left|\frac{Z_2\cdot Z_1^{3}}{-Z_2}\right|.−Z2Z2⋅Z13.
先化簡目標。 因為 Z2≠0Z_2\ne 0Z2=0（它有倒數），兩個 Z2Z_2Z2 因子直接約掉：Z2Z13−Z2=−Z13,∣−Z13∣=∣−1∣ ∣Z1∣3=∣Z1∣3.\frac{Z_2Z_1^{3}}{-Z_2}=-Z_1^{3},\qquad\left|-Z_1^{3}\right|=|-1|\,|Z_1|^{3}=|Z_1|^{3}.−Z2Z2Z13=−Z13,−Z13=∣−1∣∣Z1∣3=∣Z1∣3. 所以只需要 Z1Z_1Z1 的絕對值，完全不必把 Z2Z_2Z2 化成極式。
用第一個式子消掉 Z2Z_2Z2。 Z1‾Z2=2\dfrac{\overline{Z_1}}{Z_2}=2Z2Z1=2 給出 Z1‾=2Z2\overline{Z_1}=2Z_2Z1=2Z2，也就是 Z2=Z1‾2Z_2=\dfrac{\overline{Z_1}}{2}Z2=2Z1。
代入第二個式子。 令 w=Z1‾w=\overline{Z_1}w=Z1，(1−i)(w+3)=4⋅w2=2w ⟹ (1−i)w+3−3i=2w.(1-i)(w+3)=4\cdot\frac{w}{2}=2w\ \Longrightarrow\ (1-i)w+3-3i=2w.(1−i)(w+3)=4⋅2w=2w ⟹ (1−i)w+3−3i=2w.
解這個一次方程式求 www。 把 www 併在一起：3−3i=(2−(1−i))w=(1+i)w3-3i=\bigl(2-(1-i)\bigr)w=(1+i)w3−3i=(2−(1−i))w=(1+i)w，所以 w=3−3i1+i=3(1−i)2(1+i)(1−i)=3(−2i)2=−3i.w=\frac{3-3i}{1+i}=\frac{3(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{3(-2i)}{2}=-3i.w=1+i3−3i=(1+i)(1−i)3(1−i)2=23(−2i)=−3i.
還原 Z1Z_1Z1 並核對已知條件。 Z1‾=−3i\overline{Z_1}=-3iZ1=−3i 給出 Z1=3iZ_1=3iZ1=3i、Z2=−3i2Z_2=-\tfrac{3i}{2}Z2=−23i。檢查：Z1‾/Z2=(−3i)/(−1.5i)=2\overline{Z_1}/Z_2=(-3i)/(-1.5i)=2Z1/Z2=(−3i)/(−1.5i)=2，且 (1−i)(−3i+3)=3(1−i)2=−6i=4(−1.5i)(1-i)(-3i+3)=3(1-i)^2=-6i=4(-1.5i)(1−i)(−3i+3)=3(1−i)2=−6i=4(−1.5i)。兩個式子都成立。
取絕對值。 ∣Z1∣=∣3i∣=3|Z_1|=|3i|=3∣Z1∣=∣3i∣=3，所以答案是 ∣Z1∣3=33=27|Z_1|^{3}=3^{3}=27∣Z1∣3=33=27。
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