把 x³ − 3x² + 5x + 1 在有理數範圍內因式分解，或說明它不能分解，並判斷它有幾個實根。

Step-by-step solution

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   列出並逐一檢驗可能的有理根。 常數項是 $1$，最高次項係數也是 $1$，所以候選只有 $x=\pm1$：

   $f(1)=1-3+5+1=4,\qquad f(-1)=-1-3-5+1=-8$

   兩個都不是零。既然沒有有理根，就沒有有理係數的一次因式；而三次式一旦能分解就必然含有一個一次因式，所以這個多項式在 $\mathbb{Q}$ 上不可分解。

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   微分，看看函數的形狀。

   $f'(x)=3x^2-6x+5$

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   證明導數永不為零。 它的判別式是

   $(-6)^2-4(3)(5)=36-60=-24<0$

   所以 $f'$ 沒有實根；又因為最高次項係數 $3$ 為正，故對每一個實數 $x$ 都有 $f'(x)>0$。配方之後一目了然：$3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2\ge2>0$。

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   據此斷定實根恰有一個。 嚴格遞增的函數與任何一條水平線至多相交一次，而三次函數與 $y=0$ 至少要交一次。所以 $f$ 恰有一個實根 —— 另外兩個則是一對共軛複數根。順帶對照 $x^3-5x^2+3x+2$：它同樣在 $\mathbb{Q}$ 上不可分解，卻有三個實根；可見不可分解性對「有幾個根是實數」一事完全沒有發言權。

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   把實根的位置定出來。 由 $f(-1)=-8<0$ 而 $f(0)=1>0$，可知根落在 $(-1,0)$ 內。在細網格上用二分法求得

   $x\approx-0.1795$

   驗算：$f(-0.1795)=-0.00578+(-0.09666)+(-0.8975)+1=0.0000557$ —— 幾乎就是零 ✓。

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   把兩個結論都做數值驗證。 在 $[-10,10]$ 上掃 $200{,}001$ 個點，恰好只找到一次變號 ✓；再把 $f'(x)=3x^2-6x+5$ 在從 $-10$ 到 $10$ 的 $2000$ 個點上求值，每一個都是正的，最小值 $2$ 出現在 $x=1$ 處 ✓。