一個長方體的體積是 x 的三次方減 3x 平方加 5x 減 3，底面積是 x 平方減 2。既然體積等於底面積乘以高，這個長方體的高是多少？

Step-by-step solution

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   把幾何關係轉成除法。 由 $V=A\cdot h$，

   $h=\frac{V}{A}=\frac{x^3-3x^2+5x-3}{x^2-2}$

   除式是二次式，所以綜合除法用不上 —— 這裡需要完整的多項式長除法。

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   第一輪除法：對齊首項。 $x^3\div x^2=x$，所以商的第一項是 $x$。乘回去再相減：

   $x(x^2-2)=x^3-2x$
   $(x^3-3x^2+5x-3)-(x^3-2x)=-3x^2+7x-3$

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   第二輪除法。 $-3x^2\div x^2=-3$，所以商的下一項是 $-3$。乘回去再相減：

   $-3(x^2-2)=-3x^2+6$
   $(-3x^2+7x-3)-(-3x^2+6)=7x-9$

   餘式 $7x-9$ 的次數是 $1$，低於除式的次數 $2$，所以除法到此結束。

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   把高寫成商加上餘式除以除式。

   $h=x-3+\frac{7x-9}{x^2-2}$

   因為餘式不是零多項式，所以高是有理式而不是多項式 —— 這題的數字本來就除不盡。

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   乘回去驗算。 把 $A\cdot h$ 重新組合起來應該要還原成 $V$：

   $(x^2-2)(x-3)+(7x-9)=x^3-3x^2-2x+6+7x-9=x^3-3x^2+5x-3\ \checkmark$

   在 $x=5$ 時兩邊都得 $72$，也從數值上確認了這個恆等式。

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   在方便的數值上抽驗高。 取 $x=2$：$V=8-12+10-3=3$、$A=4-2=2$，所以真正的高是 $\tfrac32$。而公式給出

   $(2-3)+\frac{14-9}{4-2}=-1+2.5=1.5\ \checkmark$