展開並化簡 (7x² + 7x − 5)(5x² − 4x + 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   **動手之前先把記帳規劃好。**兩個三項式會產生 $3\times3=9$ 個部分乘積。一次分配一個左邊的項（而不是只涵蓋二項式的 FOIL），可以確保九項都不漏。

2. 2

   分配領導項 $7x^{2}$。

   $7x^{2}\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{4}-28x^{3}+14x^{2}$

3. 3

   分配中間項 $7x$。

   $7x\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{3}-28x^{2}+14x$

4. 4

   分配常數 $-5$，並把它的符號帶進每一項。

   $-5\left(5x^{2}-4x+2\right)=-25x^{2}+20x-10$

5. 5

   **按次方合併。**把九項依次數分組：

   $x^{4}:\ 35x^{4}$
   $x^{3}:\ -28x^{3}+35x^{3}=7x^{3}$
   $x^{2}:\ 14x^{2}-28x^{2}-25x^{2}=-39x^{2}$
   $x^{1}:\ 14x+20x=34x$
   $x^{0}:\ -10$

6. 6

   **用數值檢查展開結果。**把因式形式與展開形式在 $-6$ 到 $6$ 的每個整數 $x$ 上求值，$13$ 個點的結果完全相同 —— 比決定一個四次式所需的 $5$ 個點還多，所以係數是正確的。（在 $x=1$ 快速檢查一次：$(7+7-5)(5-4+2)=9\cdot3=27$，而 $35+7-39+34-10=27$。）