解三次方程式 2x³ + 3x² − 8x + 3 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   列出所有可能的有理根。 對 $a_nx^n + \dots + a_0$ 而言，任一有理根都形如 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p \mid a_0 = 3$ 且 $q \mid a_n = 2$。所以完整的候選清單是

   $\pm 1,\ \pm 3,\ \pm\frac12,\ \pm\frac32$

   因為首項係數是 $2$ 而不是 $1$，那些二分之幾也必須測試——漏掉它們，正是這個三次式被誤判為不可分解的原因。

2. 2

   逐一測試候選，找出成立的那個。 試 $x = \tfrac12$：

   $2\left(\tfrac18\right) + 3\left(\tfrac14\right) - 8\left(\tfrac12\right) + 3 = \tfrac14 + \tfrac34 - 4 + 3 = 0$

   所以 $x = \tfrac12$ 是一個根，由因式定理可知 $\left(x - \tfrac12\right)$——等價地說，係數為整數的因式 $(2x - 1)$——可以整除這個三次式。

3. 3

   除掉已知的因式。 用多項式除法（或綜合除法）除以 $2x - 1$，得到一個沒有餘式的二次商式：

   $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)\left(x^2 + 2x - 3\right)$

   餘式為零，正是除法做對了的確認。

4. 4

   分解二次的商式。 乘積為 $-3$、和為 $+2$ 的兩數是 $+3$ 與 $-1$：

   $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

   $\Longrightarrow \quad 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)(x + 3)(x - 1)$

5. 5

   令每個因式為零並驗算。

   $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \tfrac12, \qquad x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3, \qquad x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

   代回檢查：$x=-3$ 得 $-54 + 27 + 24 + 3 = 0$，$x=1$ 得 $2 + 3 - 8 + 3 = 0$。三根之和為 $-3 + \tfrac12 + 1 = -\tfrac32 = -\tfrac{a_2}{a_3}$，三根之積為 $-\tfrac32 = -\tfrac{a_0}{a_3}$，兩者都與根與係數關係相符。