把 (a + x)^(m+1) (b + x)^(n−1) − (a + x)^m (b + x)^n 完全分解。

Step-by-step solution

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   看指數，不要被字母嚇到。 兩項都由同樣的兩個底數 $(a+x)$ 與 $(b+x)$ 組成，只有指數不同。第一項帶 $(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}$，第二項帶 $(a+x)^{m}(b+x)^{n}$。兩個乘積共用底數時，最大公因式對每個底數取較小的指數——這條規則就是這題的全部方法，而且就算 $m$ 與 $n$ 未知也照樣成立。

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   每個底數取較小的指數。 $(a+x)$ 的指數是 $m+1$ 與 $m$，較小的是 $m$。$(b+x)$ 的指數是 $n-1$ 與 $n$，較小的是 $n-1$。所以

   $\text{公因式}=(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   注意這對任何整數 $m,n$ 都合法：我們從頭到尾不需要知道它們的值，只需要知道每一對裡誰比較小。

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   用 $x^p/x^q=x^{p-q}$ 把兩項各除以公因式。

   $\frac{(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(a+x)^{1}=a+x$

   $\frac{(a+x)^{m}(b+x)^{n}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(b+x)^{1}=b+x$

   於是式子變成 $(a+x)^m(b+x)^{n-1}\left[(a+x)-(b+x)\right]$。

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   化簡括號——問題就在這裡崩解。 小心把減號分配進去：

   $(a+x)-(b+x)=a+x-b-x=a-b$

   兩個 $x$ 抵消了，所以括號根本不是 $x$ 的二項式，而是常數差 $a-b$。忘記把減號分配到 $+x$ 上是最常見的錯誤，會留下錯誤的括號 $a-b+2x$。

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   寫出分解式並檢查。 把各部分拼起來：

   $(a-b)(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   用 $a=2,b=1,x=1,m=2,n=3$ 快速驗算：原式是 $3^{3}\cdot 2^{2}-3^{2}\cdot 2^{3}=108-72=36$，分解後的形式得 $(2-1)\cdot 3^{2}\cdot 2^{2}=36$。兩者相符，分解正確。