解 2(x − 1.6)² + (x − 1.5)² = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   注意左邊每一項都是非負的。 對實數 $x$ 而言，$(x-1.6)^2 \ge 0$ 且 $(x-1.5)^2 \ge 0$，而第一項再乘上正的常數 $2$ 仍然非負。所以左邊是兩個非負量的和。

2. 2

   用非負數的零和原則。 一堆非負數的和等於 $0$，只有在每一項都是 $0$ 時才成立。這裡就逼出 $2(x-1.6)^2 = 0 \quad\text{且}\quad (x-1.5)^2 = 0,$ 也就是要同時有 $x = 1.6$ 且 $x = 1.5$。

3. 3

   看出矛盾。 一個數不可能同時是 $1.6$ 和 $1.5$，所以沒有任何實數 $x$ 能同時滿足這兩個條件。因此這個方程式沒有實數解。

4. 4

   展開後用代數再確認一次。 $2(x-1.6)^2 = 2x^2-6.4x+5.12$，$(x-1.5)^2 = x^2-3x+2.25$，所以方程式成為 $3x^2-9.4x+7.37 = 0.$

5. 5

   檢查展開式的判別式。 $\Delta = (-9.4)^2-4(3)(7.37) = 88.36-88.44 = -0.08 < 0$，獨立地確認了沒有實根。差距非常小，這正是前面那個結構性論證比小數運算更保險的原因。

6. 6

   讀出它的實際意義。 這是最小平方配適的殘差：$3x^2-9.4x+7.37$ 的最小值發生在 $x = \tfrac{9.4}{6} \approx 1.5667$，值為 $\tfrac{0.08}{12} \approx 0.00667 > 0$。$1.6$ 與 $1.5$ 之間最好的折衷是 $x \approx 1.5667$，但這個和永遠碰不到零。