解不等式 x² - 7x - 6 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先試因式分解，然後很快放棄。 我們需要兩個整數，乘積為 $-6$、和為 $-7$：候選的 $(1,-6)$ 和是 $-5$、$(-1,6)$ 和是 $5$、$(2,-3)$ 和是 $-1$、$(-2,3)$ 和是 $1$。都不合，所以根不是有理數，必須用公式解。

2. 2

   算判別式。

   $\Delta=(-7)^2-4(1)(-6)=49+24=73$

   $73$ 是質數，因此不含平方因數，$\sqrt{73}$ 無法化簡，邊界會是無理數。$\Delta>0$ 保證有兩個相異實根。

3. 3

   求出兩根。

   $x=\frac{7\pm\sqrt{73}}{2}$

   其中 $\sqrt{73}\approx 8.5440$，所以 $x_1\approx -0.7720$、$x_2\approx 7.7720$。

4. 4

   利用開口方向。 $x^2$ 的係數是 $+1>0$，所以拋物線開口向上，式子在兩根之外為正，在兩根之間為負：

   $x<\frac{7-\sqrt{73}}{2}\qquad\text{或}\qquad x>\frac{7+\sqrt{73}}{2}$

5. 5

   代點檢驗，並確定端點。 代 $x=-1$：$1+7-6=2>0$ ✓（左段）。代 $x=0$：得 $-6$，不成立 ✓（中段被排除）。代 $x=8$：$64-56-6=2>0$ ✓（右段）。在兩根處式子恰為 $0$，而不等號是嚴格的，所以兩個邊界都不包含在內。