解不等式 −(1/3)(x − 7) ≥ (1/2)(3x + 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   一次把兩個分母都去掉。 分母是 $3$ 與 $2$，所以每一項都乘以它們的最小公倍數 $6$。因為 $6>0$，不等號方向不受影響 —— 這是去分數最安全的做法：

   $6\cdot\left[-\frac13(x-7)\right]\ge6\cdot\left[\frac12(3x+1)\right]$

   $-2(x-7)\ge3(3x+1)$

2. 2

   兩邊都展開。

   $-2x+14\ge9x+3$

   那個 $-2$ 要乘進括號裡的兩項，於是 $-7$ 變成 $+14$。

3. 3

   把變數整理到同一邊。 兩邊減去 $9x$（加減永遠不會讓不等號反向）：

   $-11x+14\ge3$

   再減去 $14$：

   $-11x\ge-11$

4. 4

   除以負係數，不等號反向。 兩邊除以 $-11$，不等號要反過來：

   $x\le1$

   這一次的變號就是整題唯一的陷阱；在這裡若保留 $\ge$，得到的會是完全相反的那半條數線。

5. 5

   在分界點兩側各代一個點檢驗。 當 $x=1$：左式 $=-\tfrac13(-6)=2$、右式 $=\tfrac12(4)=2$，等號成立 ✓（端點包含在內）。當 $x=0$：左式 $=\tfrac73\approx2.33$、右式 $=0.5$，而 $2.33\ge0.5$ 為真 ✓。當 $x=2$：左式 $=\tfrac53\approx1.67$、右式 $=3.5$，而 $1.67\ge3.5$ 為假 ✓。解集合是 $(-\infty,1]$。