給定兩個有限等差數列：2, 5, 8, 11, ... 到第 1000 項，以及 −1, 6, 13, 20, ... 到第 1000 項。有多少個數同時出現在兩個數列中？

Step-by-step solution

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   用同餘式描述每個數列。 $(a_n)$ 的公差 $d=3$、首項為 $2$，所以在它的範圍內，它的項恰好就是滿足 $x\equiv 2\pmod 3$ 的整數。$(b_n)$ 的公差 $d=7$、首項為 $-1$，所以它的項是滿足 $x\equiv -1\equiv 6\pmod 7$ 的整數。

2. 2

   求出各自的末項。 $a_{1000}=2+999\cdot 3=2999,\qquad b_{1000}=-1+999\cdot 7=6992$ 因此重疊的部分只可能落在較短的範圍 $[2,\;2999]$ 之內。

3. 3

   解這組同餘式。 我們需要 $x\equiv 2\pmod 3$ 且 $x\equiv 6\pmod 7$。拿 $x=6,13,20$ 去試第一個同餘式，$20=3\cdot 6+2$ 成立，所以由中國剩餘定理得 $x\equiv 20\pmod{21}$（模數是 $\operatorname{lcm}(3,7)=21$）。

4. 4

   數一數落在範圍內的解。 共同項是 $20,41,62,\dots\le 2999$，構成一個公差為 $21$ 的等差數列：$\left\lfloor\frac{2999-20}{21}\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{2979}{21}\right\rfloor+1=141+1=142$

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   確認並作答。 直接把兩個 1000 項的集合列出來取交集，也同樣得到 $142$ 個元素，所以答案是 C。