基本函數 f(x) = |x| 先對 x 軸作對稱，再向下平移 6 單位。寫出新函數的方程式。

Step-by-step solution

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   先從最基本的 V 形說起。 $f(x)=|x|$ 的頂點是 $(0,0)$，開口向上，左臂斜率為 $-1$、右臂斜率為 $+1$，值域是 $[0,\infty)$。

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   對 $x$ 軸作對稱。 對 $x$ 軸作對稱，就是把每個函數值 $y$ 換成 $-y$：

   $-f(x)=-|x|$

   此時 V 形開口向下，兩臂斜率依序為 $+1$ 與 $-1$，值域變成 $(-\infty,0]$。（若是對*$y$*軸作對稱，那就是把 $x$ 換成 $-x$，在這裡什麼都不會變，因為 $|-x|=|x|$——題目只說了「作對稱」，所以這一點值得點明。）

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   向下平移 6 單位。 從函數值裡減去 $6$：

   $-|x|-6$

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   描述最後得到的圖形。

   $f(x)=-|x|-6,\qquad \text{頂點 }(0,-6),\ \text{值域 }(-\infty,-6]$

   最大值是 $-6$，且只在 $x=0$ 處取到。

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   驗幾個點，並指出它沒有零點。 取 $x=0$：$-|0|-6=-6\;\checkmark$（正是頂點）。取 $x=3$：$-3-6=-9$；基本函數上的點 $(3,3)$ 先對稱到 $(3,-3)$，再下落到 $(3,-9)\;\checkmark$。由於最大的函數值是 $-6<0$，方程式 $-|x|-6=0$ 無解——這條圖形永遠碰不到 $x$ 軸。