化簡 (3x² + 4)² + (3x² − 4)² − 2(3x² + 4)(3x² − 4)。

Step-by-step solution

1. 1

   先忍住不要展開——先看結構。 硬展開的話是三個四次式外加一堆瑣碎的加減。但這三塊剛好就是兩個重複區塊的 $a^2$、$b^2$ 與 $-2ab$，這正是下面這個公式的特徵：

   $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$

2. 2

   把區塊代換掉。 令

   $a=3x^2+4,\qquad b=3x^2-4$

   則原式就是 $a^2+b^2-2ab$，因此等於 $(a-b)^2$。把每個括號當成一個整體看待，就是省下所有工夫的關鍵動作。

3. 3

   計算 $a-b$，小心分配負號。

   $a-b=(3x^2+4)-(3x^2-4)=3x^2+4-3x^2+4=8$

   $3x^2$ 項互相消掉，兩個常數則是相加（因為 $-(-4)=+4$）。在這裡算成 $0$ 而不是 $8$，是最典型的正負號錯誤。

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   把差平方。

   $(a-b)^2=8^2=64$

   所以整個式子塌縮成常數 $64$：不論實數 $x$ 取何值都一樣，答案裡沒有留下 $x$。

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   用兩個不同的 $x$ 檢查。 取 $x=0$：$16+16-2(4)(-4)=16+16+32=64$。✓ 取 $x=1$：$49+1-2(7)(-1)=49+1+14=64$。✓ 兩個不同的輸入給出同樣的輸出，這是式子確實為常數的有力證據。