求不等式 ax² + (3a − 4)x − 12 ≥ 0 的解集合，並討論參數 a 的所有情形。

Step-by-step solution

1. 1

   先把退化情形 a = 0 分開處理。 $x^2$ 的係數就是參數本身，所以這個不等式未必是二次的。若 $a = 0$，它退化成一次不等式：

   $-4x - 12 \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad x \le -3$

   解集合是 $(-\infty, -3]$。以下各種情形都假設 $a \ne 0$。

2. 2

   算判別式，注意它是完全平方。 當 $a \ne 0$，

   $\Delta = (3a-4)^2 + 48a = 9a^2 - 24a + 16 + 48a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a+4)^2$

   因為對每個實數 $a$ 都有 $\Delta \ge 0$，這個二次式永遠有實根——完全不需要「無實根」那一個分支。這正是本題賴以成立的結構性事實。

3. 3

   把兩個根精確地解出來。

   $x = \frac{4 - 3a \pm |3a+4|}{2a} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = \frac{8}{2a} = \frac{4}{a}, \qquad x_2 = \frac{-6a}{2a} = -3$

   所以對每個 $a$，都有一個根被釘在 $x = -3$，另一個根則隨 $a$ 滑動。因此

   $ax^2 + (3a-4)x - 12 = a(x+3)\left(x - \frac{4}{a}\right)$

   乘開來正是 $ax^2 + 3ax - 4x - 12$——就是原來的式子。

4. 4

   情形 a > 0：拋物線開口向上。 此時 $4/a > 0 > -3$，兩根由小到大是 $-3 < 4/a$，而式子在兩根之外非負：

   $x \le -3 \quad \text{或} \quad x \ge \frac{4}{a}, \qquad \text{也就是} \quad (-\infty,-3] \cup \left[\tfrac{4}{a}, +\infty\right)$

5. 5

   情形 a < 0：開口向下，所以要比較兩根大小。 現在式子在兩根之間非負，而 $-3$ 與 $4/a$ 的大小順序取決於 $a$。由於 $4/a = -3 \iff a = -\tfrac43$：

   $-\tfrac43 < a < 0: \ \ \frac4a < -3 \ \Longrightarrow \ \left[\tfrac4a,\, -3\right]$

   $a = -\tfrac43: \ \ \frac4a = -3 \ \Longrightarrow \ \{-3\} \ \ (\Delta = 0,\ \text{只剩單一點})$

   $a < -\tfrac43: \ \ -3 < \frac4a \ \Longrightarrow \ \left[-3,\, \tfrac4a\right]$

   中間那個情形最容易漏掉：在 $a = -\tfrac43$ 時兩根合而為一，解集合縮成一個點。

6. 6

   把完整答案收攏。

   $a = 0:\ (-\infty,-3] \qquad a > 0:\ (-\infty,-3]\cup\left[\tfrac4a,\infty\right)$

   $a < 0:\ \left[\min\left(-3,\tfrac4a\right),\ \max\left(-3,\tfrac4a\right)\right]$

   用 $a = 2$ 抽查：不等式是 $2x^2+2x-12 \ge 0$，也就是 $2(x+3)(x-2) \ge 0$，得到 $x \le -3$ 或 $x \ge 2 = 4/a$，與預測相符。