設 f(x) = x^2 - 5x + 2，求差商 (f(x + h) - f(x))/h（其中 h 不為 0）並化簡。

Step-by-step solution

1. 1

   要把 $x+h$ 代進整個函數式，不是只代第一項。 $f$ 裡每一個 $x$ 都要換掉，包括 $-5x$ 裡的那一個：

   $f(x+h)=(x+h)^{2}-5(x+h)+2.$

   展開 $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ 並把 $-5$ 乘進去：

   $f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2.$

2. 2

   減去 $f(x)$ 時，負號要分配到每一項。 這裡是最容易出正負號錯誤的地方，所以先把第二個括號完整寫出來再拆：

   $f(x+h)-f(x)=\left(x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2\right)-\left(x^{2}-5x+2\right).$

   $=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2-x^{2}+5x-2.$

3. 3

   看清楚什麼被消掉了，以及為什麼。 $f(x)$ 裡所有不含 $h$ 的項全部消失：$x^{2}-x^{2}=0$、$-5x+5x=0$、$2-2=0$。這是必然會發生的，也正是分子一定能被 $h$ 整除的原因：

   $f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-5h.$

4. 4

   分子提出 $h$，再把它約掉。 題目已給定 $h\neq 0$，所以約分是合法的：

   $\frac{2xh+h^{2}-5h}{h}=\frac{h(2x+h-5)}{h}=2x+h-5.$

5. 5

   解讀結果並驗算。 答案 $2x+h-5$ 就是通過 $(x,f(x))$ 與 $(x+h,f(x+h))$ 兩點的割線斜率。令 $h\to 0$ 得 $2x-5$，恰好就是 $f'(x)$，是很好的印證。數值驗算：取 $x=1.7$、$h=0.03$，$\frac{f(1.73)-f(1.7)}{0.03}=-1.57$，而 $2(1.7)+0.03-5=-1.57$。