解方程式 2x² = 2x + 1。

Step-by-step solution

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   先把方程式寫成標準式。 公式解需要 $ax^{2}+bx+c=0$ 這個形狀，所以兩邊同減 $2x+1$：

   $2x^{2}-2x-1=0$

   得到 $a=2$、$b=-2$、$c=-1$。注意 $c$ 是負的：把 $+1$ 移過去會變號。

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   先算判別式再決定用什麼方法。

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(2)(-1)=4+8=12$

   $-4(2)(-1)=+8$ 這個負負得正的地方要盯緊。由於 $\Delta=12>0$，有兩個相異實根，但 $12$ 不是完全平方數，所以兩根都是無理數、也不存在整數分解——公式解才是對的工具。

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   代進一元二次方程式的公式解。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}$

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   化簡根式並約分。 因為 $12=4\cdot3$，所以 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$：

   $x=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\left(1\pm\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$

   公因數 $2$ 必須從分子的兩項一起約掉——只約掉前面那個 $2$ 是經典的錯誤。

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   用根與係數關係和代入法驗算。 兩根的和應該是 $-b/a=1$，乘積應該是 $c/a=-\tfrac12$：

   $\frac{1+\sqrt3}{2}+\frac{1-\sqrt3}{2}=1\ \checkmark,\qquad\frac{(1)^{2}-(\sqrt3)^{2}}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac12\ \checkmark$

   數值上兩根約為 $\approx1.3660$ 與 $\approx-0.3660$，把任一個代進 $2x^{2}-2x-1$，殘差都低於 $10^{-12}$ ✓。